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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n-1}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n-1}$
Respuesta
Este ejercicio lo vamos a resolver con los mismos razonamientos que ya aplicamos en el item anterior y que vimos en la segunda clase de Series positivas. En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:
Reportar problema
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n-1}$
sospechamos que se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, que es una serie que sabemos que converge por ser una serie $p$ con $p > 1$. Entonces, vamos a comparar nuestra serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ usando el criterio de comparación vía límite:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}+n-1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^{2}+n-1} = 1$
Como el resultado del límite nos dio $>0$, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.